Sabe-se muito pouco sobre Euclides. Sabe-se que nasceu depois dos discípulos diretos de Platão mas antes de Eratóstenes e Arquimedes e que viveu em Alexandria quando Ptolomeu governava o Egito, ou seja, entre 306 e 283 antes de Cristo.
Os Elementos foram escritos por volta do ano 300 a.c com o intuito de formular e organizar os resultados da geometria anterior. Nesta obra, dividida em 13 livros, Euclides não se limita porém a compilar resultados dos matemáticos que o antecederam mas tem a preocupação de, em muitos casos, aperfeiçoar as demonstrações. Exeptuam-se alguns resultados para os quais considerava não existir demonstração satisfatória e o estudo das cônicas, sobre as quais Euclides terá escrito uma obra intitulada de “Cônicas” que não chegou aos nossos dias.
Embora, antes de Euclides, já outros matemáticos, como Hipócrates de Quios, tenham reunido os conhecimentos disponíveis no seu tempo num único livro, a mestria da obra de Euclides foi tal que suplantou todas as que a antecederam e das quais não sobreviveu uma única cópia. Trata-se de fato de uma obra sem rival que durante séculos atraiu a atenção dos maiores matemáticos e que constituía um modelo de como a lógica pode funcionar.
A obra começa com definições de termos geométricos (embora nem todas sejam atualmente consideradas satisfatórias), definições essas que não eram mais do que descrições que se pretendiam compreensíveis, para que se percebesse do que é que se estava a falar.
Depois das definições, Euclides aponta 5 postulados ou suposições fundamentais sobre objetos geométricos. Esses postulados são:
1. (É possível) traçar uma e uma só linha reta de qualquer ponto a qualquer outro ponto.
2. (É possível) prolongar continuamente um segmento, a partir de qualquer das suas extremidades numa linha reta [tanto quanto se queira]
3. (É possível) traçar uma circunferência com qualquer centro e raio.
4. Todos os ângulos retos são iguais.
5. Se uma linha reta cai sobre outras duas de modo que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam no seu conjunto [isto é, na sua soma] menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto do mesmo lado em que os dois ângulos são inferiores a dois retos.
Euclides apresenta em seguida 5 noções comuns (aquilo a que hoje chamamos axiomas) consideradas evidentes, verdadeiras (não apenas na geometria), e necessárias para as demonstrações:
1. Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si.
2. Se a quantidades iguais se adicionam quantidades iguais, obtêm-se quantidades iguais.
3. Se a quantidades iguais se subtraem quantidades iguais, obtêm-se quantidades iguais.
4. Coisas que coincidem são iguais.
5. O todo é maior que a parte.
Uma das razões pelas quais esta obra é tão grandiosa é o fato de tanto ter sido deduzido de tão pouco. Na verdade,demonstrar 465 proposições, partindo de apenas 5 postulados, 5 noções comuns e algumas definições é um grande feito. Contudo, muitos matemáticos posteriores acreditaram que o mesmo podia ser obtido com apenas os primeiros 4 postulados e, que o quinto postulado não era mais do que uma proposição demonstrável a partir dos primeiros 4 postulados. Ou seja, para estes matemáticos não fazia sentido verificarem-se os 4 primeiros postulados e não se verificar o quinto, pois este seria consequência lógica dos outros 4. Daí a idéia de tentar demonstrar o quinto postulado. Aliás, o próprio Euclides também terá visto algo de especial no quinto postulado, razão pela qual não o utiliza na demonstração das primeiras 28 proposições (e só a partir da 32ª todas o utilizam). É quase como se Euclides evitasse a sua utilização tanto quanto possível.
Muitas foram as tentativas de demonstrar o quinto postulado ao longo da história, mas ninguém o conseguiu fazer corretamente, até porque, como mais tarde se viria a provar, essa demonstração é impossível! Dos matemáticos que se embrenharam nesta tarefa impossível, foram vários os que chegaram a acreditar (erradamente) que o tinham conseguido. Em muitos desses casos, o erro estava na utilização (ainda que implícita) de outro postulado equivalente ao quinto postulado dos Elementos de Euclides, como viria a ser descoberto pelos próprios ou por algum matemático posterior.
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/quintoposteucl/postulado1.htm
Os Elementos foram escritos por volta do ano 300 a.c com o intuito de formular e organizar os resultados da geometria anterior. Nesta obra, dividida em 13 livros, Euclides não se limita porém a compilar resultados dos matemáticos que o antecederam mas tem a preocupação de, em muitos casos, aperfeiçoar as demonstrações. Exeptuam-se alguns resultados para os quais considerava não existir demonstração satisfatória e o estudo das cônicas, sobre as quais Euclides terá escrito uma obra intitulada de “Cônicas” que não chegou aos nossos dias.
Embora, antes de Euclides, já outros matemáticos, como Hipócrates de Quios, tenham reunido os conhecimentos disponíveis no seu tempo num único livro, a mestria da obra de Euclides foi tal que suplantou todas as que a antecederam e das quais não sobreviveu uma única cópia. Trata-se de fato de uma obra sem rival que durante séculos atraiu a atenção dos maiores matemáticos e que constituía um modelo de como a lógica pode funcionar.
A obra começa com definições de termos geométricos (embora nem todas sejam atualmente consideradas satisfatórias), definições essas que não eram mais do que descrições que se pretendiam compreensíveis, para que se percebesse do que é que se estava a falar.
Depois das definições, Euclides aponta 5 postulados ou suposições fundamentais sobre objetos geométricos. Esses postulados são:
1. (É possível) traçar uma e uma só linha reta de qualquer ponto a qualquer outro ponto.
2. (É possível) prolongar continuamente um segmento, a partir de qualquer das suas extremidades numa linha reta [tanto quanto se queira]
3. (É possível) traçar uma circunferência com qualquer centro e raio.
4. Todos os ângulos retos são iguais.
5. Se uma linha reta cai sobre outras duas de modo que os dois ângulos internos de um mesmo lado sejam no seu conjunto [isto é, na sua soma] menores que dois ângulos retos, então as duas linhas retas, se prolongadas indefinidamente, encontram-se num ponto do mesmo lado em que os dois ângulos são inferiores a dois retos.
Euclides apresenta em seguida 5 noções comuns (aquilo a que hoje chamamos axiomas) consideradas evidentes, verdadeiras (não apenas na geometria), e necessárias para as demonstrações:
1. Coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si.
2. Se a quantidades iguais se adicionam quantidades iguais, obtêm-se quantidades iguais.
3. Se a quantidades iguais se subtraem quantidades iguais, obtêm-se quantidades iguais.
4. Coisas que coincidem são iguais.
5. O todo é maior que a parte.
Uma das razões pelas quais esta obra é tão grandiosa é o fato de tanto ter sido deduzido de tão pouco. Na verdade,demonstrar 465 proposições, partindo de apenas 5 postulados, 5 noções comuns e algumas definições é um grande feito. Contudo, muitos matemáticos posteriores acreditaram que o mesmo podia ser obtido com apenas os primeiros 4 postulados e, que o quinto postulado não era mais do que uma proposição demonstrável a partir dos primeiros 4 postulados. Ou seja, para estes matemáticos não fazia sentido verificarem-se os 4 primeiros postulados e não se verificar o quinto, pois este seria consequência lógica dos outros 4. Daí a idéia de tentar demonstrar o quinto postulado. Aliás, o próprio Euclides também terá visto algo de especial no quinto postulado, razão pela qual não o utiliza na demonstração das primeiras 28 proposições (e só a partir da 32ª todas o utilizam). É quase como se Euclides evitasse a sua utilização tanto quanto possível.
Muitas foram as tentativas de demonstrar o quinto postulado ao longo da história, mas ninguém o conseguiu fazer corretamente, até porque, como mais tarde se viria a provar, essa demonstração é impossível! Dos matemáticos que se embrenharam nesta tarefa impossível, foram vários os que chegaram a acreditar (erradamente) que o tinham conseguido. Em muitos desses casos, o erro estava na utilização (ainda que implícita) de outro postulado equivalente ao quinto postulado dos Elementos de Euclides, como viria a ser descoberto pelos próprios ou por algum matemático posterior.
http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/quintoposteucl/postulado1.htm
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